凯利公式推导(单一事件赌局) 单一事件赌局：胜率为p，赔率为b
( 压1 元赢了可拿回1 b元，输了1 元全赔光) 假设这赌局可不断的重复玩下去，且每次都压手上全部资金的比例
f
(例如
f =
60 %) 。我们的工作是去决定这个
f
该选多少，使得在玩过多次赌局后，资金成长最快。 假设
A t 表示玩到第
t 次赌局后的资金，我们分成下面两个CASEs讨论： CASE 1：若第
t
– 1次赌局的结果为赢，则
A t = A t -1 (1
bf )(说明)因为每次都压原来资金的
f 比例。换句话说，在时间点
t
–
1时一共压了A t -1 f 那么多资金。因为赌局结果为赢，且赔率为b，所以会净赚A t -1 fb，再加上原来的资金A t -1，故在时间点
t 的资金变为A t
= A t -1
A t -1 fb =
A t -1 (1
bf ) CASE 2:若第t – 1次赌局的结果为输，则
A t = A t -1 (1 –
f )(说明)
因为每次都压原来资金的
f 比例。换句话说，在时间点
t
– 1时一共压了A t -1 f
那么多资金。因为赌局结果为输，且所压的资金是全部输光，所以一共赔了A t -1 f，故在时间点
t 的资金变为A t
= A t -1
–
A t -1 f =
A t -1 (1 –
f ) 有了上面两个CASEs后，我们可以开始计算每一次赌局后的资金变化： 只要下一个时间点赢，就将原来的资金乘上(1
bf ) ；只要下一个时间点输，就将原来的资金乘上(1 –
f )。 我们假设总共玩了T次。在T次的赌局里，赢了W次，输了L次
( 也就是T
=
W
L )。因此，从一开始(时间点为
t
= 0)手上的资金为
A 0，到时间点
T 的总资金可以表示如下：A T
= A 0 (1
bf ) W (1 –
f ) L 再来要做的工作便是决定
f 多少，使得A T 可以最大化。这就完全是微积分求最大值的计算问题。我们用下面图一展示这个计算推导。 图一：单一事件赌局的凯利公式推导
结论：由上面推导可知，每一次赌局所要投入的资金比例为期望净利除上赔率。注意到当期望净利为正的时候(分子为正)，变是第一篇所提的有利赌局。只有在有利赌局的时后，才值得下注，而上面的推导告诉你该怎么下注？以上为单一事件凯利赌徒的解释与证明。 –凯利公式推导(多重事件赌局) 多重事件赌局：一枚硬币赌局，人头出现机率为 p 1，赔率为b 1；数字出现机率为p 2，赔率为b 2。 假设每次下注的方式为压资金的f 1 比例在人头，压资金的f 2 比例在数字。(注：p 1
p 2
= 1；b 1
b 2
= 1 )，则
f 1 与
f 2 要如何决定，可以使得玩过多次赌局后，资金成长最快。(注：
f 1
f 2界在0与1之间(包含)) 类似单一事件赌局的推导过程，我们假设A t表示玩到第t次的总资金，我们分成下面两个CASEs讨论： CASE 1：若在第t
– 1 回合人头出现，则
A t = A t- 1 (1 b 1 f 1 – f 2 )(说明)
因为每次都压原来资金的
f 1 比例在人头上，f 2 比例在数字上。如果时间点
t
– 1时人头出现，且赔率为b 1，则可净赚A t -1 b 1 f 1，但是压在数字上面的金额A t -1 f 2 会全部输光。最后，再加上原来资金A t -1，故在时间点
t 的资金变为A t
= A t -1
A t -1 f 1 b 1
–
A t -1 f 2
=
A t -1 (1
b 1 f 1
–
f 2 ) CASE 2：若在第t
– 1 回合数字出现，则
A t
=
A t- 1 (1
b 2 f 2
–
f 1 )(说明)此部份的推导过程完全与CASE 1对称，
f 1跟f 2、b 1跟b 2对调而已。 有了上面两个CASEs后，我们可以开始计算每一次赌局后的资金变化。 只要下一个时间点人头出现，就原来的资金乘上(1
b 1 f 1
–
f 2 )；只要下一个时间点数字出现，就原来的资金乘上(1
b 2 f 2
–
f 1 )。 我们假设赌局进行T 回合，人头出现W 1 次，数字出现W 2 次
( 也就是T
=
W 1
W 2 )。因此，从一开始(时间点t
= 0)手上的现金为A 0，到时间点T 的总资产可以表示如下：A T
=
A 0 (1
b 1 f 1
–
f 2 ) W 1 (1
b 2 f 2
–
f 1 ) W 2 再来要做的工作便是决定f 多少，使得A T 可以最大化。一样是微积分求最大值的计算问题，只不过在这我们要用偏微分跟一些计算的小技巧(在此省略)。我们用下面图二展示这个计算推导。 图二：多重事件赌局的凯利公式推导
结论：由上面推导可知，每一次多重事件赌局所要投入的最佳资金比例就是每个事件发生的的机率。对于不确定发生机率的多重事件赌局，上面的推导结果告诉你该怎么下注？Bidding Your Belief！ 本篇献给那些对凯利公式想要更深入了解的朋友们。 看不懂，绝对不会影响您原本操作绩效的好坏；看的懂，希望对您资金控管有更实质的帮助。
